数学（英文mathematics，简称math或maths）一直是形成人类文化的主要力量，通过数学这面镜子可以了解一个时代的特征。而数学哲学对于时代的特征有着重大影响，下面就简单谈谈数学哲学的有关问题。

数学哲学的研究范畴包括逻辑学和数学之间共同涉及的显示，推理和数学推断等方面，以及关于如何正确使用此类技术的事实和原则。数学哲学还是识别和评价那些不同技术之间的关系和相互作用的一项重要研究，以及对数学运算式、数学形式和谱系等形式论哲学的探索。

关于数学哲学，它一般展现为形式论和数学证明的艺术，其重在建立清晰的推断以支撑数学理论的有效性。形式学关注的是如何有效地把概念转换为逻辑表达，而证明艺术是如何将抽象想法转换成逻辑表达，有效使用这些形式，并利用其有效性进行假设和猜测。

此外，数学哲学本身也是一种具有哲学性质的学科，它关注的是探讨数学语言的结构，数学式的意义本质，数学原理的形成，数学演绎的逻辑和思维活动等问题，最终目的是指导数学实践，准确地表达数学问题，以及形成更为深入和有效的解决方案。

其实，在古希腊数学与哲学同属一脉，许多数学家同时也是哲学家。哲学关注真善美，其分支相应分为研究真的逻辑学、研究善的伦理学、研究美的美学；而数学的真表现在它的理性精神，数学的善表现在它与现实生活的普遍联系和广泛应用上，数学的美就是数学问题的结论或解决过程适应人们的满足感。

古希腊时期的毕达哥拉斯学派可视为数学哲学的鼻祖。毕达哥拉斯认为，万物的本质不是物质，而是抽象的数。17世纪初，法国的哲学家、数学家勒内•笛卡尔创立了解析几何，认为如果从不可怀疑和确定的原理出发，用类似数学的方法进行论证，则可以把自然界的一切显著特征演绎出来。

英国物理学家、数学家艾萨克•牛顿和德国哲学家、数学家戈特弗里德•莱布尼兹创立了微积分，由于后来把微积分这个工具改进为严格的分析体系，使数学物理强有力的理论成为可能，这一理论最终导致了量子力学、相对论的诞生，让人们对物质和空间的基本性质有更深的了解，从而使数学发展成为研究无限的科学。

进入20世纪以后，数学向更加抽象的方向发展；特别是创造了电子计算机，数学从科学的幕后走向台前，数字化深入到了人类几乎所有的活动，人类历史进入了一个崭新的信息时代。可以想象，随着人类社会的发展，数学会成为最基本的学科，会成为所有科学的框架。如果采用后现代谚语来说，就是几乎没有什么东西能够避开数学的“文本”。

在数学的发展过程中，对自然数与空间的先验观念有过一定的改造，主要是牺牲一点直观而追求逻辑效力，以适合数学发展的需要。一个成就是通过直角坐标系，把空间也归结为实数，最后归结为自然数。另一个成就是把数建立在集合的基础上，现代数学中还有范畴等更深入的基础，这主要是出于数学自身发展的需要，相当于在系统软件上装了一些应用软件。

从毕达哥拉斯到德国古典哲学创始人伊曼努尔•康德的众多思想家都有许多数学哲学的重要思想，但作为专门学科直到19世纪中叶以后才逐渐建立起来，也就是现代数学哲学。它着重研究数学的对象、性质、特点、地位与作用；数学新分支、新课题提出的重要概念的哲学意义；数学流派、数学方法和数学基础等问题。

由于哲学立场的不同，在数学基础的现代研究中逐渐形成了逻辑主义、直觉主义和形式主义学派。逻辑主义对这些公理进行改造，让它更加适合现代数学的发展；直觉主义暗示了公理化的数学对于经验的可应用性，形式主义则是保证了数学在公理系统内部的真实性。作为其数学哲学思想的体现，这些学派又都提出了数学基础研究的具体规划。

因此现代数学哲学的研究内容包括：数学基础的研究，进而形成以英国哲学家、数学家伯特兰•罗素为首的逻辑主义和以荷兰数学家路易岑•布劳维尔为首的直觉主义，以及以德国数学家戴维•希尔伯特为首的形式主义学派。数学悖论的研究，探讨悖论的排除及彻底解决的可能性；数学本体论的研究，探讨数学的研究对象是否为客观的真实的存在；数学真理性的研究，就是探讨各种数学真理观的问题。

通过对现代数学哲学的研究，我们可以更好地认识到数学和哲学之间的紧密联系，以及它们在人类知识体系中所占据的基础地位。数学为哲学提供严密的思维方法，哲学问题推动数学发展，两者在研究领域的共同作用，以及在教育和科学普及中的互动。这种互动作用在教育领域，数学和哲学共同培养了学生的逻辑思维和批判性思考能力，从而推动科学素质的提高。

此外，数学本质是结构(存在数量)和关系(存在变化)的描述，以及验证(结构和关系)的方法和过程。至于逻辑，更象是结构和关系所固有特点，而抽象是寻找结构和关系过程的手段。所以，数学通过抽象的方法，剥离去除一切无意义的具体，只留下单纯的结构和关系，并探索其中的逻辑。数学试图去发现所有的结构和关系，这是一种描述行为；所以，数学可以说是一种描述事物的物质。

对于数学的本质是什么，一直以来都是数学家和哲学家争论不休的话题。如有人认为数学是经验归纳的产物，是人类思维构造出来的工具；也有人认为数学可能描述了世界上真实的事物，但它并不“存在”于使用它的人的思想之外。而中国数学家、语言学家周海中却认为：“关于数学的本质问题，任何争论都是没有必要的；无论持何种观点，数学都是科学理性思维的最好工具。”

数学哲学的研究对数学和哲学的发展产生了深远的影响，它不但促进了数学的进步，也促进了哲学的发展，深刻影响了现代科学的发展；它作为一门充满活力和前景广阔的当代交叉学科，将继续推动数学与哲学的紧密合作，为人类知识体系的发展作出重要贡献。